معادلات ناویر استوکس (navier stokes) چیست؟ مدلسازی و ناویه استوکس

مدلسازی از مفاهیم بسیار کاربردی میباشد که مهندسین رشته های مختلفی درگیر فراگیری آن میباشند. شاید اغراق نباشد که بگوییم بیش از 90% مسیر نوشتن معادله ناویراستوکس و حذف صحیح پارامتر های ان میباشد. اما معادلات ناویر استوکس چیست ؟و چگونه به ما در حل مسائل مهم مدلسازی و استفاده از آن کمک میکند ؟ اکثر دانشجویان رشته های مهندسی همچون برق، مکانیک، شیمی، مهندسی پلیمر و … با این معادلات سروکار دارند. با ما همراه باشید تا در این مقاله اطلاعاتی مفید درباره این مبحث ریاضیات کسب کنیم.

معادلات ناویراستوکس چیست ؟

معادلات ناویراستوکس از جمله پرکاربرد ترین معادلاتی میباشند که یک مهندس شیمی یا مهندس پلیمر میتواند با ان سروکار داشته باشد. از این معادلات در کنکور کاشناسی ارشد پلیمر و کنکور دکتری این معادلات که حالت کلی و روابط کلی را بیان میکنند. این دو دانشمند که نام انها بر روی این معادلات گذاشته شده است در حقیقت بدترین حالت مسئله را در نظر گرفته و با حل معادلات فرم ساده شده ای به جامعه علمی ارائه دادند که از انها میتوان در دروس انتقال حرارت انتقال جرم رئولوژی مهندسی پلاستیک و با استفاده از معادلات دیفرانسیل معمولی یا معادلات دیفرانسیل پاره ای حل کرده و با نوشتن شروط مرزی به معادله ای ساده شده رسید. به عنوان مثال تنها فیزیک پدیده های علمی(کمک به نوشتن شروط مرزی برای حل مسئله) و برخی مسائل اقتصادی را حل می کند. کاربرد بسیار پر اهمین ان را شاید بتوانیم در علم مکانیک سیالات بیان کنیم جاییکه این معادلات ، برای تحلیل میدان سرعتِ جریان سیال در آیرودینامیک و توربوماشین‌ها از انها بهره میگیرند. جالب است درباره این دو دانشمند بدانید که این معادلات برای نخستین بار در سال ۱۸۲۲ توسط دانشمندی به نام ناوی (Claude-Louis Navier) بیان شد. سپس چندی بعد توسط دانشمندی دیگر به نام استوکس (George Gabriel Stokes) در حالات کلی و در نظر گرفتن driving force ها تکمیل شد. و زمانیکه حرکت سیالات تراکم ناپذیر ویسکوز را ارائه نمودند ،انها را ناویراستوکس نامیدند.به طور کل معادلات نویر استوکس با بهره گیری از قانون دوم نیوتن که برای حرکت سیال نوشته میشوند به دست می آیند . و در علم سیالات و رئولوژی با این فرض که تنش در سیالات همراه با یک جمله ویسکوزیته ( که مربوط به گرادیان سرعت میباشد ) به همراه یک جمله از پارامتر فشار تشریح میشوند.

البته شما میتوانید با بهرره گیری از روش‌های دیگر مانند تابع جریان که در علم سیالات موجود است جواب این معادلات را به شکل تحلیلی و مفهومی به دست اورد.

کاربرد معادلات ناویراستوکس

از جمله کمکی که این معادله میکند این است که ترکیب انها با معادله بقای جرم، مسائلی که مربوط به مکانیک سیالات است را قابل حل میکند. به این ترتیب که تعداد مجهولات مسئله و تعداد معادلات موجود برابرشده و حل مسئله را به کمک روابط ریاضی و مفاهیم ان به صورت تئوری امکان‌پذیر مینماید. گر بخواهیم از برخی از کاربرد های معادلات نویر استوک نام ببریم می توانیم به موارد زیر اشاره کنیم :

مدلسازی جریان درون اکسترودر،مدلسازی انتقال جرم بین گازو هوای اطراف یک لوله ، مدل سازی جریان هوا ، مدلسازی جریان سیال جاری در یک لوله یا انالوس ، مدلسازی جریان اطراف یک بال، مدلسازی جریان های اقیانوسی ، و مدلسازی حرکت ستارگان در کهکشان از انواع پیچیده تر انها هستند اما در فرم ساده تر در مطالعه جریان خون، طراحی سفینه و ماشین ها، طراحی نیروگاهها و حتی تحلیل اثرات آلودگی نیز موثر واقع میشود.

این معادلات از درک عمیق ریاضی از معادلات دیفرانسیل گرفته تا ریاضیات مهندسی و PDE ناشی میشوند. پس در ابتدای امر قوی کردن پایه ریاضی خود و در نهایت خواندن مدلسازی میتواند شما را چندین پله از رقبایتان در کنکور،محل کار و حتی پروژه ارشد جلو بیندازد.

معادلات ناویراستوکس یا نویراستوک نام برده شده معادلات دیفرانسیلی میباشند که انها بر خلاف تمامی معادلات جبری که میشناسیم، رابطه مستقیمی را بین متغیرهای مورد نظرمان ( به عنوان مثال سرعت و فشار ) برقرار نمی کنند .در حقیقت کاری که انها انجام میدهند روابطی است که بین نرخ ها بیان میکنند. اگر بخواهیم مثالی بزنیم این است که معادلات ناویر استوکس که برای یک مورد ساده از یک سیال ایده آل( تراکم ناپذیر و ویسکوز) بیان میکند،مربوط به شتاب ( نرخ تغییر سرعت ) انها به گرادیان(برای نمونه مشتق جزیی) فشار است.

معادلات ناویراستوکس در سه مختصات کارتزین،استوانه ای و کروی بیام میشود و نکته ای که وجود دارد این است که انها را میتوانید در رشته مهندسی پلیمر در پیدا کردن پروفایل سرعت پیدا کردن پروفایل دما و در انتقال جرم و حتی بررسی دروس اکسترودر به کار برد. معمولا پاسخ های به دست امده از حل معادلات ناویر استوکس، پروفایل سرعت و بسته به مسئله میدان جریان میباشد . که پاسخ انها در رئولوژی و مهندسی پلاستیک بیان میکند که سرعت سیال در یک نقطه خاص و با شرایط مرزی موجود در فضا و گاها زمان چگونه میباشد.همچنین بعد از حل معادلات و ساده سازی با توجه به شرایط مسئله و شروط در نظر گرفته شده از میدان سرعت ، یک سری کمیت های بسیار کاربردی مانند دبی سیال ، نیروی دراگ ،نیروی پرشر،نوع جریان و به طبع پارامتر های ان، مسیر جریان و دیگر پارامتر ها به راحتی به دست می ایند .

برای انحام مدلسازی پس از تشخیص مختصات و اینکه چه نوع معادله ای را باید بنویسید به سراغ ساده سازی ها و فرضیات رفته و توسط شروط مرزی اقدان به حل انها کرده تا پارامتر مد نظز به صورت معادله کلی ظاهر شود و با جایگزاری اعداد داده شده به راحتی جواب عددی ان نیز به دست می اید. به عنوان مثال روابط زیر که در رئولوژی پلیمر ها کاربرد دارد پروفایل سرعت یا همان u را در مختصات کارتزین نشان میدهد.

نتیجه گیری:

همانطور که متوجه شدیم معادلات ناویراستوکس سهم بزرگی در خیلی از علوم مهندسی و حتی غیر مهندسی دارد.موسسه جهش نوین ایرانیان دوره مدلسازی را توسط مدرس نام اشنای خود دکتر ایمان صاحبی جویباری با بهترین کیفیت و روان ترین تدریس به شما ارائه میکند که به شما پیشنهاد میشود که پس از گذراندن دوره های معادلات دیفرانسیل PDE و محاسبات عددی (همگی انها داخل سایت قرار دارند) شروع به خواندن دوره مدلسازی کنید. زیراکه تمامی این مباحث زنجیروار به هم متصل بوده و میتواند کمک شایانی به شما در جهت درک مفاهیم و به کار گیری این علوم در دنیای واقعی کند.